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Exercícios sobre Equação Biquadrada

É possível resolver exercícios sobre equação biquadrada convertendo-a em uma equação polinomial do segundo grau.

  • Questão 1

    (FACESP) O conjunto solução, no campo real, da equação z4 – 13z2 + 36 = 0 é:

    a) S = {-3, -2, 0, 2, 3}

    b) S = {-3, -2, 2, 3}

    c) S = {-2, -3}

    d) S = {0, 2, 3}

    e) S = {2, 3}

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  • Questão 2

    (Cesgranrio) O produto das raízes positivas de x4 – 11x2 + 18 = 0 vale:

    a) 2√3

    b) 3√2

    c) 4√3

    d) 4√2

    e) 2√3

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  • Questão 3

    Determine o valor de x para a equação x10 – 33x5 + 32 = 0.

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  • Questão 4

    Encontre o valor de x para a equação x6 + 6x3 + 9 = 0

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Primeiramente vamos reescrever essa equação para convertê-la em uma equação do segundo grau. Portanto:

    z2 = x

    Podemos escrever a equação z4 – 13z2 + 36 = 0 como (z2)2 – 13z2 + 36 = 0. Onde há z2, substituiremos por x. Teremos a seguinte equação do segundo grau:

    x2 – 13x +36 = 0

    Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação de segundo grau. Para isso, temos os coeficientes a = 1; b = – 13 e c = 36.

    x = – b ±√Δ
           2.a

    Vamos encontrar o valor de delta:

    Δ = b2 – 4.a.c
    Δ= (– 13)2 – 4.1.36
    Δ= 169 – 144
    Δ= 25

    Substituindo os valores na fórmula de Bhaskara, temos:

    x = – b ±√Δ
            2.a
    x = – (-13) ±√25
                 2.1
    x = 13 ± 5
           
    2
    x' = 13 + 5 = 18 = 9
         
    2        2
    x'' = 13 – 5 = 8 = 4
          2       2

    Os possíveis valores para x são 4 e 9. Sabemos também que z2 = x. Vamos agora verificar os valores de z, se x' = 9:

    (z')2 = 9
    z' = √9
    z' = ± 3

    Se x'' = 4, temos ainda:

    (z'')2 = 4
    z'' = √4
    z'' = ± 2

    Portanto, as raízes da equação são: – 3, – 2, 2 e 3. A alternativa correta é a (b)

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  • Resposta Questão 2

    Vamos reescrever a equação x4 – 11x2 + 18 = 0 da seguinte forma:

    (x2)2 – 11x2 + 18 = 0

    Fazendo x2 = y, teremos:

    y2 – 11 y + 18 = 0

    Tendo agora uma equação do 2º grau, podemos destacar os coeficientes a = 1; b = – 11 e c = 18. Vamos então aplicar esses valores na Fórmula de Bhaskara:

    y = – b ±√Δ
           2.a

    Encontraremos os valores de delta:

    Δ = b2 – 4.a.c
    Δ= (– 11)2 – 4.1.18
    Δ= 121 – 72
    Δ= 49

    Vamos agora substituir os valores para encontrar y:

    y = – b ±√Δ
          2.a
    y = – (– 11) ±√49
            2.1
    x = 11 ± 7
          2
    x' = 11 + 7 = 18 = 9
         
    2        2
    x'' = 11 – 7 = 4 = 2
          
    2       2

    Fazendo x2 = y e considerando y' = 9, temos:

    (x')2 = 9
    x' = √9
    x' = ± 3

    Para y'' = 2, segue:

    (x'')2 = 2
    x'' = √2
    x'' = ± √2

    O exercício pediu que multiplicássemos as raízes positivas, sendo assim, teremos:

    x'.x'' = 3.√2

    Portanto, a alternativa correta é a (b).

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  • Resposta Questão 3

    Para resolvermos a equação, vamos reescrevê-la a fim de convertê-la em uma equação de 2º grau:

    (x5)2 – 33x5 + 32 = 0

    Façamos x5 = y. Teremos a seguinte equação:

    y2 – 33y + 32 = 0

    Os coeficientes dessa equação são a = 1, b = – 33 e c = 32. Vamos então resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:

    y = – b ±√Δ
          2.a

    Vamos primeiramente encontrar o valor de delta:

    Δ = b2 – 4.a.c
    Δ= (– 33)2 – 4.1.32
    Δ= 1089 – 128
    Δ= 961

    Substituindo os valores na Fórmula de Bhaskara, teremos:

    y = – b ±√Δ
           2.a
    y = – (– 33) ±√961
            
    2.1
    x = 33 ± 31
          
    2
    x' = 33 + 31 = 64 = 32
        
    2         2
    x'' = 33 – 31 =  2 = 1
            
    2        2

    Mas como x5 = y, se y' = 32:

    (x')5 = 32
    x' = 5
    √32
    x' = 2

    Se y'' = 1:

    (x'')5 = 1
    x'' = 5√1
    x'' = 1

    Portanto, os valores possíveis para x são 1 e 2.

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  • Resposta Questão 4

    Novamente vamos tentar deixar essa equação no formato de uma equação de 2 º grau.

    (x 3)2 + 6x3 + 9 = 0

    Fazendo x3 = y, temos:

    y2 + 6y + 9 = 0

    Os coeficientes dessa equação são a = 1, b = 6 e c = 9. Vamos resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:

    y = – b ±√Δ
          2.a

    Vamos primeiramente encontrar o valor de delta:

    Δ = b2 – 4.a.c
    Δ= 62 – 4.1.9
    Δ= 36 – 36
    Δ= 0

    Agora substituir os valores na Fórmula de Bhaskara:

    y = – b ±√Δ
         2.a
    y = – 6 ±√0
           
    2.1
    y = – 6 ± 0
         
    2
    y = – 6
         2
    y = – 3

    Mas como x3 = y:

    x3 = y
    x3 = – 3
    x = 3
    √-3

    Portanto, o valor de x é a raiz cúbica de – 3.

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