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Exercícios sobre Diagramas de Venn

Estes exercícios sobre Diagramas de Venn exigem uma cuidadosa interpretação para definir quais conjuntos podem ser formados e quais são as possíveis intersecções.

  • Questão 1

    Em uma sala de aula, a professora de Matemática decidiu fazer um levantamento dos lanches comprados pelos alunos. A professora verificou que, de um total de 35 alunos, dezenove compraram salgado; destes, quatro compraram pizza e salgado, e sete alunos não compraram lanche nesse dia. Quantos alunos compraram apenas pizza?

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  • Questão 2

    Em um curso de idiomas, foi feita uma pesquisa com adolescentes para verificar quais línguas estrangeiras eles gostariam de aprender. O resultado foi:

    • 23 gostariam de aprender inglês;

    • 24 gostariam de aprender espanhol;

    • 25 gostariam de aprender italiano;

    • 12 gostariam de aprender inglês e italiano;

    • 10 gostariam de aprender italiano e espanhol;

    • 9 gostariam de aprender inglês e espanhol;

    • 7 gostariam de aprender inglês, espanhol e italiano.

    Quantos adolescentes foram entrevistados?

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  • Questão 3

    (UFBA) Numa academia de ginástica que oferece várias opções de atividades físicas, foi feita uma pesquisa para saber o número de pessoas matriculadas em alongamento, hidroginástica e musculação, chegando-se ao resultado expresso na tabela a seguir:

    Com base nessas informações, pode-se concluir:

    (01) A pesquisa envolveu 500 pessoas.

    (02) 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento.

    (04) 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculação.

    (08) 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela.

    (16) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a 28,4% do total de pessoas envolvidas na pesquisa.

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  • Questão 4

    (UFAL) O resultado de uma pesquisa mostrou que, em um grupo de 77 jovens, há:

    – um total de 32 moças

    – 4 moças que trabalham e estudam

    – 13 moças que não estudam nem trabalham

    – 15 rapazes que trabalham e não estudam

    – 10 rapazes que estudam e não trabalham

    – 25 jovens que não trabalham nem estudam

    – 15 jovens que estudam e não trabalham

    Nesse grupo, o número de:

    (00) rapazes é 50

    (01) rapazes que não trabalham nem estudam é 12

    (02) moças que trabalham e não estudam é 9

    (03) rapazes que trabalham e estudam é 9

    (04) moças que estudam e não trabalham é 4

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Podemos montar um diagrama de Venn com as informações dadas no problema:

    Diagrama de Venn da Questão 1
    Diagrama de Venn da Questão 1

    Somando os alunos que não compraram lanche, aqueles que compraram apenas pizza, os que compraram apenas salgado e os que compraram salgado e pizza, o resultado deve ser 35. Sendo assim, chegamos à seguinte equação:

    x + 15 + 4 + 7 = 35
    x = 35 – 26
    x = 9

    Portanto, nove alunos compraram apenas pizza.

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  • Resposta Questão 2

    Vamos montar um diagrama de Venn para organizar as informações fornecidas pelo problema. Dessa forma, há três círculos que se interceptam, e a intersecção dos três círculos é composta pelo número 7, pois essa é a quantidade de adolescentes que se interessaram pelas três línguas.

    Em relação aos adolescentes que se interessaram por dois idiomas, doze interessaram-se por inglês e italiano e, dentre esses, sete interessaram-se por espanhol também. Logo, apenas cinco gostariam de fazer inglês e italiano. Assim, se 10 gostariam de aprender italiano e espanhol, retirando os sete que se interessaram pelas três línguas, restam apenas três que gostariam de aprender italiano e espanhol. De modo análogo, sabemos que nove pessoas interessaram-se por inglês e espanhol. Desconsiderando as sete que se interessaram por inglês também, restam apenas dois que gostariam de aprender inglês e espanhol.

    Vamos analisar quantos gostariam de aprender apenas um idioma. Sabemos que 23 gostariam de aprender inglês e, desconsiderando os dois que se interessaram também por espanhol, cinco, por italiano, e sete, por ambos, restam apenas nove que gostariam de aprender apenas inglês. Se 24 gostariam de aprender espanhol e, desses, dois interessaram-se por inglês, três, por italiano, e sete, por ambos, 12 adolescentes gostariam de aprender apenas espanhol. Se dos 25 que se interessaram por italiano, retirarmos os cinco que também se interessaram por inglês, os três que gostariam de aprender espanhol e os sete que têm interesse em todas as línguas, restarão dez adolescentes que gostariam de aprender exclusivamente italiano. Com essas informações, podemos montar o seguinte diagrama de Venn:

    Diagrama de Venn da Questão 2
    Diagrama de Venn da Questão 2

    Somando todas as quantidades apresentadas no diagrama, temos:

    9 + 2 + 7 + 5 + 12 + 3 + 10 = 48

    Portanto, 48 adolescentes foram entrevistados pelo curso de idiomas.

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  • Resposta Questão 3

    Vamos analisar as informações contidas no problema para formar um diagrama de Venn e verificar a veracidade das afirmações. Organizando um diagrama que intercepte os grupos de alunos que fazem as três modalidades, podemos preencher a intersecção dos três círculos com “5”, pois essa é a quantidade de alunos que fazem as três modalidades.

    Vamos agora analisar os grupos que fazem duas modalidades: se 25 alunos praticam alongamento e hidroginástica e, dentre esses, cinco fazem musculação, então apenas vinte praticam apenas hidroginástica e musculação. Analogamente, se 28 praticam alongamento e musculação, retirando os cinco que fazem as três modalidades, restam apenas 23 que fazem apenas aulas de alongamento e musculação. Temos ainda que 41 pessoas fazem aulas de hidroginástica e musculação. Desconsiderando as cinco que também fazem alongamento, restam apenas 36 que praticam exclusivamente musculação e hidroginástica.

    Vejamos agora quantos alunos praticam apenas uma modalidade. Sabemos que 109 alunos fazem alongamento, desses podemos retirar 20 que fazem hidroginástica, 23 que praticam musculação e 5 que fazem as três modalidades, restando 61 alunos que praticam exclusivamente alongamento. Se 203 praticam hidroginástica, podemos desconsiderar os 20 que fazem alongamento, os 36 que fazem musculação e os 5 que fazem as três aulas, o que nos garante que apenas 142 praticam apenas hidroginástica. De modo análogo, se 162 fazem musculação, podemos subtrair desse total os 23 que também fazem alongamento, os 36 que fazem hidroginástica e os 5 que fazem ambos, restando apenas 98 alunos que praticam só musculação. Fora esses, temos 115 alunos que fazem outras modalidades. Com essa informação, podemos montar o seguinte diagrama de Venn:


    Diagrama de Venn da Questão 3

    A partir do diagrama, é mais fácil analisar as afirmativas:

    (1) A pesquisa envolveu 500 pessoas.

    Somando todos os valores presentes no diagrama, temos:

    142 + 20 + 5 + 36 + 23 + 61 + 98 + 115 = 500

    Portanto, a afirmativa é verdadeira, pois a pesquisa envolveu 500 pessoas.

    (02) 61 pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento.

    Verdadeira.

    (04) 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculação.

    Vamos excluir do total de entrevistados aqueles que faziam apenas hidroginástica, aqueles que estavam matriculados em outras modalidades e os que estavam matriculados em alongamento e musculação (observe que há diferença entre “ou” e “e”):

    500 – 142 – 115 – (23 + 5) = 215

    A afirmativa é falsa, pois apenas 215 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculação.

    (08) 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela.

    Os que foram matriculados em pelo menos duas das atividades são aqueles que aparecem nas intersecções:

    36 + 23 + 20 + 5 = 84

    Apenas 84 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades, portanto, a afirmativa é falsa.

    (16) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a 28,4% do total de pessoas envolvidas na pesquisa.

    Para sabermos a porcentagem de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica, basta dividir esse valor pelo total:

    142 = 0,284 = 28,4%
    500                         

    Portanto, a afirmativa é verdadeira.

    Somando os números das alternativas verdadeiras, temos: 01 + 02 + 16 = 19. Essa soma é nossa resposta final.

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  • Resposta Questão 4

    A interpretação dessa questão requer um cuidado especial. Primeiramente, sabemos que há um total de 32 moças. Dessas, 13 não estudam nem trabalham, e esse valor pode ficar fora do diagrama de Venn. Considerando um diagrama que intercepte as moças que trabalham e as que estudam, temos, na intersecção, quatro moças que estudam e trabalham. Não sabemos ainda quantas moças só estudam e quais só trabalham.

    Não sabemos o total de rapazes, mas é sabido que 15 deles apenas trabalham e 10 apenas estudam. Não sabemos ainda quantos rapazes trabalham e estudam e quantos não fazem nenhum dos dois.

    Podemos então montar o seguinte diagrama com as informações conhecidas:

    Diagrama de Venn da Questão 4 – 1ª parte
    Diagrama de Venn da Questão 4 – 1ª parte

    Entre as informações dadas, 25 jovens não trabalham nem estudam. Se desses 25, 13 são moças, restam então 12 rapazes que não trabalham nem estudam. Portanto, d = 12.

    Se 15 jovens estudam e não trabalham, sendo 10 rapazes, podemos concluir que há 5 moças nessa situação. Logo, b = 5.

    Sabendo que há um total de 32 moças, basta retirar as informações conhecidas para determinar quantas moças apenas trabalham:

    32 – 4 – 5 – 13 = a
    a = 10

    Sabendo que o grupo de entrevistados era composto por 77 jovens, basta subtrair as quantidades conhecidas para determinar c, isto é, o número de rapazes que trabalham e estudam:

    77 – 13 – 12 – 10 – 15 – 4 – 5 – 10 = c
    c = 8

    Podemos finalmente montar o diagrama de Venn de forma completa:

    Diagrama de Venn da Questão 4 – 2ª parte
    Diagrama de Venn da Questão 4 – 2ª parte

    A partir da análise do diagrama, vamos verificar quais afirmativas são verdadeiras:

    (00) Número de rapazes é 50
    Somando as quantidades de rapazes, temos: 12 + 15 + 8 + 10 = 45. Afirmativa falsa.

    (01) Número de rapazes que não trabalham nem estudam é 12
    Como podemos ver no diagrama, a afirmativa é verdadeira.

    (02) Número de moças que trabalham e não estudam é 9
    Pelo diagrama, constatamos que 10 moças apenas trabalham. Logo, a afirmativa é falsa.

    (03) Número de rapazes que trabalham e estudam é 9.
    O diagrama informa que oito rapazes trabalham e estudam. A afirmativa é falsa.

    (04) Número de moças que estudam e não trabalham é 4.
    É fácil ver no diagrama que há 5 moças que estudam e não trabalham. A afirmativa é falsa.

    Nesse tipo de questão a solução é dada pela soma das afirmativas corretas. Como apenas a afirmativa (01) está correta, a solução é 01.

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