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Exercícios sobre completar quadrados

Estes exercícios testarão seus conhecimentos sobre o método de completar quadrados para resolução de equações do segundo grau.

  • Questão 1

    Quais são as raízes da função f(x) = x2 + 6x – 16?

    a) S = {2, –8}

    b) S = {8, –2}

    c) S = {}

    d) S = {2, 2}

    e) S = {– 8, –8}

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  • Questão 2

    Um empreendimento tem rendimentos dados pela função f(x) = x2 + 10x – 24, com x > 0 e x sendo o valor investido em milhões de reais. Que valor deve ser investido para que não haja rendimentos nem prejuízos?

    a) 1 milhão

    b) 2 milhões

    c) 3 milhões

    d) 4 milhões

    e) 5 milhões

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  • Questão 3

    (UNCISAL/2015)

    Funções polinomiais: uma visão analítica

    Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar o gráfico de uma função real é determinar o número e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que zero de uma função f é uma raiz da equação f(x) = 0). O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da Matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas e, por isso, são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do tipo:

    • Qual é o maior número de zeros que uma função polinomial pode ter?
    • Qual é o menor número de zeros que uma função polinomial pode ter?
    • Como podemos encontrar todos os zeros de um polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as raízes de uma equação polinomial? ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, quando este problema foi completamente resolvido. [...]

    Disponível em:
    <http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/
    sala/conteudo/capitulos/cap111s4.html>.
    Acesso em: 24 out. 2014 (adaptado).

    Levando em conta que x = 1 é um dos zeros da função f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6, qual o valor da soma dos outros zeros?

    a) –6

    b) –5

    c) 0

    d) 5

    e) 6

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  • Questão 4

    (IFSC/2013)

    O conjunto solução de toda equação do segundo grau da forma ax2+bx+c=0 pode ser determinado por:

    Δ = b2 – 4ac

    x = – b ± √Δ
          2a

    É CORRETO afirmar que o conjunto solução da equação seguinte é:

      x2 = – x   + 2
     3        3       

    a) S= { }

    b) S= {1,2}

    c) S= {2,4}

    d) S= {2,3}

    e) S = {2, –3}

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Respostas

  • Resposta Questão 1

    Lembre-se de que raízes são os valores de x quando f(x) = 0. Utilizando o método de completar quadrados, teremos:

    0 = x2 + 6x – 16

    x2 + 6x – 16 = 0

    x2 + 2·3x = 0 + 16

    x2 + 2·3x + 9 = 16 + 5

    (x + 3)2 = 25

    √[(x + 3)2] = √25

    x + 3 = ± 5

    x = ± 5 – 3

    x' = – 5 – 3 = – 8

    x'' = 5 – 3 = 2

    Gabarito: Letra A.

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  • Resposta Questão 2

    Um investimento que não gera lucros nem prejuízos deve ter rentabilidade igual a zero, ou seja, procuramos pelas raízes da função f(x). Utilizaremos para isso o método completar quadrados:

    f(x) = x2 + 10x – 24 = 0

    x2 + 10x – 24 = 0

    x2 + 10x = 0 + 24

    x2 + 2·5x = 24

    x2 + 2·5x + 25 = 24 + 25

    (x + 5)2 = 49

    √[(x + 5)2] = √49

    x + 5 = ± 7

    x = ± 7 – 5

    x' = – 7 – 5 = – 12

    x'' = 7 – 5 = 2

    Como estamos interessados apenas em x > 0, então, com um investimento de 2 milhões, não haverá lucro nem prejuízo.

    Gabarito: Letra B.

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  • Resposta Questão 3

    Os zeros ou raízes de uma função são os valores que a tornam igual a zero, isto é, são os valores de x para os quais f(x) = 0. Portanto, só precisamos calcular os valores de x tais que:

    0 = x3 – 6x2 + 11x – 6

    Sabendo que x = 1 é raiz de f(x), podemos escrever:

    f(x) = g(x)(x – 1)

    *g(x) é uma função do segundo grau que, multiplicada por x – 1, é igual a f(x). Note que essa última expressão é verdadeira, pois, quando x = 1, temos:

    f(x) = g(x)(x – 1)

    f(x) = g(x)(1 – 1)

    f(x) = g(x)(0)

    f(x) = 0

    Para encontrar g(x), basta realizar a divisão de f(x) por x – 1, pois:

    f(x) = g(x)(x – 1)

    f(x) = g(x)
    x – 1        

    Segue a divisão de polinômios:

    x3 – 6x2 + 11x – 6 | x – 1      
    – x3 – 6x2                     x2 – 5x +6  
    – 5x2 + 11x                 
    5x2 – 5x               
    6x – 6
    – 6x + 6   
    0

    Logo, g(x) = x2 – 5x +6. As outras duas raízes de f(x) são as raízes de g(x). Para encontrá-las, usaremos o método de completar quadrados. Para realizá-lo, basta somar uma parcela à equação do segundo grau que a transforme em quadrado perfeito e, depois, fatorá-la por meio de produtos notáveis. Confira:

    x2 – 5x + 6 = 0

    x2 – 5x = 0 – 6

    x2 – 2·2,5x = 0 – 6

    x2 – 2·2,5x + 6,25 = 0 – 6 + 6,25

    (x – 2,5)2 = 0,25

    √[(x – 2,5)2] = √0,25

    x – 2,5 = ± 0,5

    x = ± 0,5 + 2,5

    x' = 0,5 + 2,5 = 3

    x'' = – 0,5 + 2,5 = 2

    Portanto, a soma das raízes é:

    x' + x'' = 2 + 3 = 5

    Gabarito: Letra D.

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  • Resposta Questão 4

    Multiplique toda a equação por 3 e mova todos os termos para um único lado da equação:

      x2 = – x   + 2
    3       3      

    3·x2 = 3·(– x) + 3·2
    3         3          

    x2 = – x + 6

    x2 + x – 6 = 0

    Agora utilize o método de completar quadrados para resolvê-la:

    x2 + x – 6 = 0

    x2 + 2·0,5x = 0 + 6

    x2 + 2·0,5x + 0,25 = 0 + 6 + 0,25

    (x + 0,5)2 = 6,25

    √[(x + 0,5)2] = √6,25

    x + 0,5 = ± 2,5

    x = ± 2,5 – 0,5

    x' = 2,5 – 0,5 = 2

    x'' = – 2,5 – 0,5 = – 3

    S = {2, – 3}

    Gabarito: Letra E.

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