Exercícios sobre o cálculo da área a partir da decomposição de figuras geométricas

Perceba que essa figura é formada por um triângulo sobre um retângulo. Para calcular sua área, basta somar a área do triângulo e do retângulo. Observe que o retângulo tem base igual a 50 cm e que sua altura é igual a 30 cm. A base do triângulo também mede 50 cm e o que sobra para sua altura é 30 cm, uma vez que a altura total da figura é de 60 cm e a altura do retângulo mede 30 cm.

Então, a área do retângulo é:

Ar = b·h = 50·30 = 1500 cm²

A área do triângulo é:

At = b·h = 50·30 = 1500 = 750 cm²
     2         2           2               

E a área do pentágono é a soma das áreas do triângulo e do retângulo:

Ar + At = 1500 + 750 = 2250 cm²

Alternativa C

Observe que a parte de cima dessa figura é um semicírculo (metade de um círculo) de raio 10 cm, e a parte de baixo é um trapézio, com base maior igual a 20 cm, base menor igual a 6 cm e altura igual a 10 cm (pois a altura é igual à distância entre o ponto E e a base CD).

A área do semicírculo é igual à metade da área do círculo, logo:

Asc = πr²
       2

Asc = 3,14·10²
       2

Asc = 3,14·100
        2

Asc = 314
         2

Asc = 157 cm²

A área do trapézio é dada pela fórmula:

At = (B + b)·h
       2

At = (20 + 6)·10
     2

At = (26)·10
        2

At = 260
       2

At = 130 cm²

A área da figura da imagem é igual à soma das áreas do semicírculo e do trapézio:

Asc + At = 157 + 130 = 287 cm²

Alternativa C

Se os pontos A, C e E são retilíneos e a reta que os contém é paralela à reta que contém os pontos H e F, então é possível dividir essa figura em três triângulos e um retângulo. As medidas dos triângulos serão:

Triângulo ABC: 30 cm de altura e 20 cm de largura. Triângulo CDE: 20 cm de altura e 20 cm de largura. Triângulo HFG: 10 cm de altura e 40 cm de largura.

As medidas do retângulo são: 30 cm de altura e 40 cm de base.

As áreas dos triângulos são:

A₁ = b·h
         2 

A₁ = 20·30
       2

A₁ = 600
        2

A₁ = 300 cm²

A₂ = b·h
       2

A₂ = 20·20
       2

A₂ = 400
        2

A₂ = 200 cm²

A₃ = b·h
       2

A₃ = 40·10
       2

A₃ = 400
        2

A₃ = 200 cm²

A área do retângulo é:

A_r = b·h

A_r = 40·30

A_r = 1200 cm²

A área total da figura é:

A = 300 + 200 + 200 + 1200 = 1900 cm²

Alternativa D

Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos, como mostra a figura a seguir. Esses triângulos, por sua vez, são congruentes, uma vez que o hexágono é regular. Obtendo a área de um desses triângulos, basta multiplicá-la por 6.

Para isso, será necessário descobrir sua altura, que também é o apótema do hexágono regular. A fórmula para calcular o apótema do hexágono regular é:

a = r√3
      2

Nessa fórmula, r é o raio do polígono. Como se trata de um hexágono regular, o raio do polígono é igual ao lado l do polígono. Então, podemos escrever:

a = l√3
      2

Substituindo o valor do lado do polígono, teremos:

a = 10√3
      2

a = 5√3

Essa é a altura de um dos triângulos, nos quais o hexágono foi dividido.

A área desse triângulo é:

A_T = b·h
      2

A_T = 10·5√3
      2

A_T = 50√3
      2

A_T = 25√3 cm²

Sendo a área de um triângulo igual a 25√3 cm² e o hexágono regular composto por 6 triângulos, teremos:
                                                                                     A_Hr = 6 (25√3) cm²

                                                                                     A_Hr = 150√3 cm²

Alternativa A